카오스 이론

라플라스의 악마 

프랑스의 수학자 피에르 시몽 라플라스가 1814년 고안한 가설에 등장하는 상상의 존재. 

‘우주에 있는 모든 원자의 정확한 위치와 운동량을 알고 있는 존재가 있다면, 이것은 뉴턴의 운동 법칙(F=ma)을 이용해, 과거와 현재의 모든 현상을 설명해 주고, 미래까지 예언할 수 있을 것이다.’

이와 같이 초기 조건만 알면 모든 일을 예상할 수 있다는 사고를 오늘날 라플라스 세계관이라 한다.

라플라스의 악마가 존재한다면 모든 행동은 이미 결과적으로 정해져있다는 것을 의미한다.

즉, 자유의지란 없다는 결론에 이르게 된다.

자유의지가 없다면 죄를 범하더라도 그 죄를 벌할 수 없게된다. 인간의 사법체계는 자유의지를 가지고 있다는 전제를 하고 있기 때문이다.

하지만 운동의 초기조건을 알때 미래를 완벽하게 예측하는 것이 정말 가능한가? 

물리에서는 미래를 예측할 수 있다고 가정하고 있다.

몇 몇 단순한 운동들은 예측이 가능하다. 

그러나 날씨에 대한 완벽한 예측은 대단히 힘들거나 불가능하다.

한 개의 진자인 경우 진자의 운동을 예측할 수 있다. 그러나 이것이 두 개의 진자만 되어도 예측하기 굉장히 힘들어진다. 

<2개의 진자 운동>

여기에 존재하는 힘은 중력뿐이고 두 개의 진자가 연결되어 있을 뿐인데

왜 이렇게 예측하는 것이 힘든 것인가.

로렌츠의 끌개

2008년 타계한 미국의 기상학자 에드워드 로렌츠(Edward Lorenz)는 기상 예측을 위한 방정식을 통해 카오스의 특성을 감지하였다. 로렌츠는 1961년 어느 날, 날씨를 예측하기 위해 미지수가 3개인 비선형 연립미분방정식을 풀고 있었다.

그 과정에서 얻은 결과를 검토하기 위해 전체를 처음부터 다시 계산하지 않고 지름길을 택해 중간부터 시작하였다. 이미 가지고 있는 일련의 데이터 중 중간부터 계산할 때 입력해야 하는 값은 소수점 아래 6자리인 0.506127이었는데, 간편하게 소수점 아래 3자리인 0.506까지만 입력하였다. 컴퓨터를 돌려놓고 잠시 후 돌아온 로렌츠는 원래의 계산 결과와 현저히 다른 결과가 나타남을 알게 되었다.

끌개란 끌어드린다는 의미이다.

어디에서 시작하든지 간에 시간이 지나고 나면 결국 로렌츠 끌개와 같은 운동양상으로 진행되게 된다. 

초기치의 약간의 차이에 의해 그 결과가 계산이 많아질수록 매우 달라짐을 알수 있는 그림이다.

로렌츠 끌개의 특성은 중간중간 어느 시점에서 왼쪽 또는 오른쪽으로 궤도가 바뀐다.

이와 같은 이동에서 불확실성이 나온다. 

처음에는 예측가능한것처럼 보이지만 어느 순간부터 모르는 것이 (왼쪽,오른쪽)2배씩 모르게 된다. 

이를 기하급수적으로 어려워진다라고 표현한다. 

이런일이 60번 모르게 되면 1000경가까운 수를 모르게 되고 이런 시스템에서 우리는 예측하는 것이 완전히 불가능해진다. 

이는 즉 어떤 로렌츠 끌개의 위치를 정확히 할려면 60번 분기이전에 1000경분의 1의 정확도로 알고있어야 한다는 것인데 초기 조건에 얼마나 민감한지 알 수 있는 부분이다.

초기조건에 대단히 민감한 현상을 얘기함 여기서 빚어지는 동력학적 현상들을 카오스 현상이라고 부른다. 

다시말해, 우주는 법칙으로 기술되지만 초기조건에 민감한 경우 미래를 예측하기 대단히 힘들다. 

우리는 이것을 카오스라고 부른다. 

나비효과

북경의 나비 한 마리의 날개짓이 기상에 변화를 주어 미국 뉴욕에서 태풍이 불게 할 수 있다는 효과.

로렌츠 끌개에 들어있는 초기조건에 민감함에 대한 극적인 내용.

우주에 물체가 한가지 있다면 등속직선운동밖에 할 수 없다.

그런데 물체가 두 가지가 된다면, 중력이 작용하고 운동은 예측가능한 케플러의 운동을 하게된다.

여기에 제 3의 물체가 나타나면 예측하기 힘든 카오스 운동을 하기 시작한다.

제1법칙: 행성은 태양을 하나의 초점으로 하는 타원궤도상을 운동한다. 

제2법칙: 행성과 태양을 잇는 선분이 단위 시간에 스치고 지나가는 면적은 행성의 위치에 관계없이 항상 일정하다. 

제3법칙: 행성의 공전주기의 제곱은 타원궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례한다. 

이것을 행성의 운동에 관한 케플러의 법칙이라한다.

로렌츠 끌개에서 오른쪽 왼쪽으로 어디로 갈지 판별할 수 없는 이유가 영역을 찾아야 하는데 

그 영역사이의 경계를 알고 싶지만그 경계가 프랙탈로 되어있기 때문에 경계를 찾아 낼 수 없다.

 

카오스와 프랙탈 

프랙탈(fractal)

작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조

자기 유사성(self-similarity), 순환성(recursiveness)이라는 특징을 가지고 있다.

단순한 도형으로부터 반복해서 어떤 과정을 함으로써 만들어진다.

2번째, 정삼각형에서 각 변을 삼등분을 한다. 삼등분 가운데 맨 가운데 있는 것을 가지고 다시 삼각형을 만든다 이를 무한히 반복한다. 그림과 같이 복잡한 경계를 갖는 도형이 만들어진다. 이 도형이 둘러싸고 있는 면적은 유한하다. 그런데 그 도형을 둘러싸고 있는 둘레의 길이는 무한하게 커진다. 

무한히 긴 경계를 가지고 있는 유한한 면적의 도형이 바로 프랙탈 도형이다.

자연에는 프랙탈 도형이 굉장히 많다.

오히려 직사각형, 정삼각형등의 도형은 굉장히 예외적인 것이다.

눈송이,번개, 나무, 등등 우리 자연에서 프랙탈 형태로 존재한다.

만델브로트 집합

수학에서의 카오스

복소수로 되어있는 어떤 규칙으로 만들어지는 집합이다.

어떤경우는 z가 무한히 커질수도있고, 수렴할 수도 있다.

이 두가지 경우 중에서 z가 수렴할 때 그렇게 해주는 c들의 모임을 만델브로트 집합이라고 한다.

이렇게 복잡한 집합을 만드는데 필요했던 규칙은 수학식으로 단 두 줄이었다는게 놀랍다.

이런 단순한 규칙을가지고 상상할 수 없이 복잡한 패턴을 만들어 낼 수 있다.

이를 그래프로 그렸을 때 검은 부분이 만델브로트 집합이다.

실수 부분을 x축 허수부분이 y축으로 그린 그림이다.

언뜻보면 경계가 눈에 보이는 것 같지만 확대를 해보면 아무리 확대를 해도 끊임없이 구조가 반복되서 처음으로 돌아오기까지한다. 

물리학에서 말하는 카오스와 수학에서 말하는 프랙탈의 관계

물리적인 계를 우리가 미분방정식으로 기술을 해서 공간상에 도형을 나타냈을 때

이 도형이 프랙탈이되면 그것은 카오스를 보이게 된다.

단순한 법칙으로부터 아주 복잡한 결과가 나온다는 뜻이다. 

즉, F=ma 라는 단순한 규칙에서 예측불가능한 복잡한 운동이 나왔듯이

예측 불가능한 복잡한 운동이 있다고 해서 꼭 복잡한 규칙이 있지 않다는 것을 알 수 있다.

마찬가지로 우리가 눈으로 보는 모든 복잡함이 사실은 아주 단순한 규칙에서 나올수도 있다

자유의지는 존재하는가

벤자민 리벳의 실험에 따르면 자유의지는 없는 것 같아보인다.

 자유롭게 손을 움직인다고 할 때, 자유의지가 있다면 손을 움직여야지 하고 생각한 뒤 뇌에서 반응이 일어나고 손을 움직여야 할 것이다. 하지만 실험에 따르면 우리의 결정이 무작위 적으로 뇌에서 먼저 반응이 일어나고 우리가 그 결정을 합리화 해서 자유의지라고 믿는다. 그리고 손가락을 움직인다. 
이것을 보면 우리의 행동은 자유의지가 없는 것 처럼 보인다. 

그러나

결정론적 법칙의 존재가 예측가능성을 보장하지 않는다.

셀룰러 오토마타(cellular automata)

생명게임을 보면 마치 단순한 규칙으로 이뤄진 것이 살아 움직이는 듯한, 의지를 가진듯하게 보인다.

어떠한 성향 경향을 만들어내는데 단순한 규칙만이 필요하다는 것을 알 수 있다. 

그런 단순한 규칙으로부터 이와같이 의지에 가까운 것들을 만들어 낼 수 있는 것처럼 보인다. 

철학자 데니얼 데닉

결정되어있는 계에서도 밖에서 봤을 때 의지가 있는 것처럼 보이는 것이 나타날 수 있기 때문에 자유의지는 존재할 수 있다. 

더 나아가서 자유의지를 갖고 있는 사람들의 집단과 갖고있지 않은 사람들의 집단을 비교해보면, 

자유의지가 있다고 믿는 집단이 생존에 유리할 것이다. 

그래서 자유의지가 있다고 믿는쪽으로 우리가 진화해왔다. 

카오스 시스템에서 예측가능성

카오스 시스템에서 물론 먼 미래는 예측하기 힘들다. 

하지만, 카오스 시스템이라고 해서 무조건 모르는 것은 아니다. 

가까운 미래는 알 수 있다. 충분히 예측할 수 있다. 

그래서 기상현상에 대해서 내일 모레 며칠 단위의 예측은 높은 확률로 맞출 수 있다. 

그러나 크리스마스에 눈이 오는지 안오는지 먼미래의 예측은 어렵다. 

즉, 우리가 얼마만큼의 미래를 예측하려고 하느냐에 따라 알고 모르고가 결정된다.

요약

1. 과학적 결정론

F=ma가 가지고 있는 중요한 철학적 의미 - > 과학적 결정론

이 식으로 우주가 기술된다는 뜻은, 우주가 이미 결정되어 있다는 의미이다. 

실제로 F=ma를 기술하는 미분방정식이라는 그 방정식, 그 방법은 오늘날 수많은 분야에서 미래를 예측하고자 사용하는 수학적 방법이다. 

ex) 3일뒤의 주가를 예측하고 싶다. 주가를 예측하는 미분방정식을 만들어야한다. 그런다음 적절한 초기조건을 넣어서 3일뒤의 양들을 적분을 통해 계산한다. 

이와 같이 인간이 정량적으로 미래를 예측할 수 있는 수단이 바로 F=ma라는 방법론에서 기인한다. 

2. 카오스와 나비효과

카오스 이론

초기 조건에 민감한 것.

굉장히 단순한 계에서 조차 나온다.

예측하는 것이 불가능한 시스템이다.

카오스 시스템도 F =ma에 지배를 받지만 막상 풀려고하면 풀 수 없다.

컴퓨터를 활용하여 값을 근사적으로 구할 수 있지만 초기조건에 대단히 민감하기 때문에

예측하기가 굉장히 힘들어진다. 

카오스 같은 시스템은 백만분의 1cm오차로 읽은 데이터로 미래를 예측하려고하면 전혀 예측할 수 없는 결과를 만들어 낸다. 

비록 미래는 결정되어있지만 결정된 미래를 정확히 그것이 무엇인지 아는 것은 잘 허용하지 않는다.

신은 자연의 법칙을 주었지만, 예측할 수 있게 만들어 놓진 않았다. 

3. 카오스와 프랙탈

카오스는 위상공간의 프랙탈

카오스가 일어날 때의 운동은 어떤 도형이 되는데 그것이 바로 프랙탈이라는 도형이다.

이 도형은 결코 시작한 처음의 조건으로 돌아오지 못한다. 처음으로 돌아오지 못하니까 주기적인 운동이 되지 못하고 영원히 어딘가 새로운 곳을 가긴 가는 이것이 정확히 어디로 가는 것인지 알 수 없는 도형이된다. 

사실상 우리 주변에 많은 운동들이 카오스에 가까운 운동들이다. 

미래를 예측하기 대단히 어려운 이유이다. 

하지만 어느 정도 움직임 까지는 예측할 수 있다. 카오스를 보이는 물체라 할지라도 예측할 수 있다. 

예를 들어 날씨는 가까운 미래는 예측가능하다.

4. 자유의지는 존재할까?

결정된미래가 있더라도 이것을 알수 없다면 결정되지 않은 미래와 뭐가 다른가?

죄에대한 벌을 받는 이유는 자유의지가 있기 때문이다. 

하지만 이 자유의지가 없다면 더 이상 벌을 받아야할이유를 설명하기 힘들다. 

그래서 서양은 이를 굉장히 중요하게 논의해왔다. 

하지만 지금까지 과학자가 알아낸 바에 따르면 인간의 두뇌는 고전역학적 , 결정론적으로 기술 되는 것 같다. 

그렇다면 모든 것이 결정되어 있기 때문에 자유의지가 없는 것처럼 보인다. 

하지만 카오스이론이 보여주듯 결정되어 있다고 하더라도 이를 예측할 수 없기 때문에 자유의지가 있는 것 같아보이기도 한다. 

즉 자유의지는 명확히 답을 기술할 수 없다. 

이런 자유의지라는 철학적 문제를 일으킨 것은 F=ma로부터 나왔다는 것이 신기하다.

출처 : 경희대학교 - 모두를 위한 물리학 (김상욱)