운동의 법칙

모든 현상은 운동으로 이해된다.

물리학자들은 모든 현상을 운동으로 이해한다.

우리에게 필요한 모든 것은 바로 물체의 위치를 시간의 함수로 표현할 수 있는가이다.

바로 이것이 물리학의 가장 중요한 문제가된다.

이를 위해 수학적인 방법론이 사용된다.

데카르트의 좌표계는 모든 점(물체)의 위치를 숫자로 표현할 수 있게 하였다.

 

속도가 일정한것은 자연스럽다.

등속운동은 자연스럽다.

따라서 등속운동이 아니라면 그 이유가 있을 것이다.

그 이유를 설명하는 것이 바로 운동법칙이다.

운동법칙은 속도의 변화를 기술한다.

우리 주변의 물체들을 보면 정지상태가 더 자연스러워 보인다. 대부분의 물체는 땅에닿아 정지해 있다.

하지만 이와 같은 생각은 잘못 되었다.

우주에서 가장 자연스러운 운동은 모든 지저분한 것을 치웠을 때 나타난다.

아무것도 없는 텅빈공간에서 공을 건드리면 등속직선운동을 한다.

즉 , 갈릴레이는 이에 대해서 일정한 속도로 움직이는 것이 자연스럽다고 표현한다.

그렇다면 속도가 변하는 것은 자연스럽지 못하다.

따라서 속도가 변한다는 것에 이유가 필요하다. 이것을 설명하는 것이 바로 운동법칙이다.

갈릴레이의 변환

등속운동하고 있는 물체에 있는 사람은 등속운동이 자연스럽기 때문에 자신이 등속운동한다는 것을 모른다.

이는 자신이 정지해 있다고 착각하게 만든다.

예를들어, 등속운동을 하고 있는 자동차(관성계)를 탄 사람이 던진 물체의 운동은 외부 관찰자(관성계)가 보면 포물선이다.

하지만 타고있는 사람은 자신이 던진 공이 직선으로 올라갔다가 내려오는 것으로 생각한다.

관성계에서 물리법칙은 모두 동일하기 때문에 두 사람 모두 틀리지 않았다.

갈릴레이의 변환은 이같은 두 관성계에서의 변환 수식을 작성했다. 

F=ma의 의미

운동법칙을 수식으로 설명하면 라고 쓸 수 있다.

는 힘, 은 질량, 는 가속도를 뜻한다.

오른쪽이 귀결, 왼쪽이 원인으로 해석할 수 있다.

즉, (가속도)가 있으려면 속도가 변화해야한다. 속도가 변화하려면 원인이 필요한데

그것을 (힘)라고 부르자고 하는 것이 이 식의 의미이다.

 

이 식을 조금더 세분화 시킬 수 있다. 

가속도는 속도의 시간에 대한 미분이고,

속도는 위치의 시간에 대한 미분이다.

우리에게 필요한 것은 주어진 시간에 물체가 어디있는지를 모두 아는 것이기 때문에 x 이다.

 

결국, 우주는 그 법칙이 미분으로 쓰여있고 그것으로 부터 실제 물체가 어디있는지

알아내기 위해서 적분이 필요하다. (즉 미적분을 공부해야 하는 이유이다.) 

 

우주에는 단 네가지 종류의 (힘)이 존재한다. 

1. 중력

2. 전자기력

3. 약한 핵력

4. 강한 핵력

핵력들은 핵을 쪼개거나 합칠때 볼 수 있기 때문에 쉽게 볼 수 없다.

따라서, 우리 주변에서 벌어지는 모든일에 대한 힘은 중력 또는 전자기력이다.

땅으로 떨어지는 것에대한 원인인 중력이 아니라면 모든 속도변화, 상태변화는 전자기력으로부터 발생한다.

 

중력과 전자기력은 수학적형태가 거의 같다.

중력과 전자기력 모두 두 물체사이에서 작용하는데, 거리의 제곱에 반비례한다.

중력은 질량이 만들기 때문에 두물체의 질량의 곱에 비례하고

전자기력은 전하량이 만들기 때문에 전하량의 크기의 곱에 비례한다.

갈릴레이가 피사의 사탑에서 했던 실험에 따르면 무거운 공과 가벼운 공을 떨어트렸을 때 동시에 떨어졌다는 실험

이유는 F = ma로부터 도출가능하다.

 양변의 물체의 질량을 지울 수 있기 때문에 중력 하에서 움직이는 물체의 가속도는

물체 자신의 질량과 상관없이 지구상에서 지구의 질량과 지구의 반지름에만 관계한다.

즉, 모든 물체는 같은 속도로 낙하한다.

 

달이 떨어지지 않는 이유

달은 실제로 땅으로 떨어지고 있지만 땅에 닿지 않는 것 뿐이다.

이는 달이 땅으로 떨어지는 속도와 지구가 아래로 꺼지는 속도가 같은 경우를 상상할 수 있다.

실제로는 지구가 둥글기 때문에 지구가 아래로 꺼지는 효과를 내는 것과 같다.

물체가 중력때문에 낙하한 거리가 지구가 둥글어서 멀어진 거리와 같다면 떨어지는 물체는 땅에 닿지 않는다. 즉, 달은 땅으로 떨어지고 있지만 지구에 닿지 않는다.

바로 이것이 달이 지구 주위를 돌고 있는 상황을 설명한다.

인공위성도 땅으로 떨어지고 있지만 땅에 닿지 않는 상태가 되는 이유와 같다.

지구는 태양으로 떨어지고 있지만 태양에 닿지 않는 것과 같다.

 

우리는 왜 미적분을 배우는가

수학은 일종의 언어에 불과하다.

우주의 법칙을 알고자 한다면 우주의 법칙이 쓰여져 있는 언어를 배워야 한다.

우주의 법칙은 운동의법칙(F=ma)이고 이는 수학으로 쓰여있다.

우리가 이 우주를 이해하기 위해서는 수학이라는 언어를 배워야 한다. 

이와 같은 함수들은 특수함수라고 한다.

고등학교 정규과정의 특수함수들은 대부분 F=ma를 설명하기 위해 선택되었다.

1. 힘이 0인경우 위치는 시간의 1차함수가 된다.

2. 힘이 일정한 상수인 경우 위치는 시간의 2차함수가 된다.

3. 힘이 위치의1차에 비례하는 경우 위치는 sin, cos이라는 함수로 주어진다.

sin, cos을 배워야 하는 이유

4. 지수함수

5. 지수함수의 역함수인 역함수 

원추곡선

원추를 평면으로 절단했을 때 만들어지는 곡선의 총칭

중력과 전자기력은 모두 거리에 제곱에 반비례한다.

이를 F=ma에 대해 풀어보면 원추곡선이 나온다.

원추모양의 도형의 두개의 꼭지를 맞붙인후 단면을 자르면 나오는 것들

원, 타원, 쌍곡선 ,포물선 등등

 

가속도

가속도는 시간의 변화 분의 속도의 변화로 쓸수있다.

마지막 수식을 변환하여 에 대해 풀면,

를 1이라고 할 때, 0일때의 속도를알면 1시간일때의 속도를 알고

1시간일때의 속도를 알면 2시간일때의 속도를 안다.

이처럼 순차적으로 그다음식의 속도를 알 수 있는데 이를 점화식이라고 한다.

 

F=ma가 우리에게 알려준 것

즉, 우주의 법칙인 는 바로 한 순간의 물리량이 그 다음 순간의 물리량을 결정한다는 것이다.

이것이 바로 미분인데, 이를 이용하여 한 칸씩 걸어가는 것을 모은 것을 적분이라고 부른다.

우주는 이와 같이 미분으로 쓰여진 법칙에 따라 끊임없이 적분을하는 그런 기계와 같다.

이와같은 논리는 우주는 시간에 따른 위치의 변화라는 운동의 법칙에 의해 지배되어

인과론으로 풀어져있고, 과학적 결정론에 의해 미래는 이미 결정되어 있다고 볼 수 있다. 

 

문제를 해결하는데 문제 바깥으로 나가야 하는 창의적인 생각이 필요한 경우가 있다.

팩맨을 예로 들어보면 목표가 버찌를 찾는 것이다.

만약 버찌가 바깥에 존재하고 있다면 어떻게 해야할까?

처음부터 벽을 부시고 바깥의 버찌를 찾는 것은 불가능하다.

주어진 공간을 샅샅히 뒤져도 버찌가 없다는 확신이 들때 비로소 벽을 부시는 선택을 할 수 있다.

 

즉, 리처드 파인만에 따르면 천재가 되는 것은 갑자기 떠오른 영감을 가지고 미친 짓을 하는 것이 아니다.

할 수 잇는 모든 수단을 동원해 해보고 정말 다했다는 확신이 들때 비로소 남이 해보지 않은 일을 해볼 수 있는 것이다.

백가지 가능성 가운데 한가지 답을 한번에 찾는 것이 아니라 백가지 가능성을 모두 해봐야지만 답을 알 수 있는 것이다.

실제 천재라고 불리는 물리학자들은 남들이 보지않을 때 백가지를 해본사람들이다.

문제를 풀기위한 모든 가능성들을 다 탐색해보는 부지런한 사람이 되어야 한다. 

 

 

출처 : 경희대학교 - 모두를 위한 물리학 (김상욱)