통계학 : 정규분포, 표준정규분포

정규분포(normal distribution)

확률변수 X가 정규분포를 따를 때, 확률밀도함수는

로 표현한다.

(확률변수 X는 평균,분산 인 정규분포를 따른다.)

평균에 대해 대칭하는 그래프이다.

,에서 변곡점이 된다.

 

변곡점

접선의 기울기가 증가상태에서 감소상태로 바뀌거나, 감소상태에서 증가상태로 바뀌는 점

기울기가 최대인지점이 된다.

 

 확률변수 X가 속할 확률

 = 99.7%

 = 95.4%

 = 68.3%

 

분산의 차이에 따른 정규분포 확률밀도함수의 모습

분산이 작을 수록 그래프는 뾰족한 모양이다.

첨도가 높은경우와 정규분포 확률밀도함수의 분산이 작은 경우 평균을 기준으로 뾰족한 모양이 비슷함.

하지만, 첨도가 높은 경우는 뾰족한 동시에 꼬리부분이 두껍고, 

정규분포 확률밀도함수는 뾰족한 동시에 꼬리부분이 얇다는 차이점을 보인다.

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표준 정규 분포

평균을 0, 표준편차를 1로 표준화시킨 정규분포로을 따른다.

확률밀도함수는

로 표현된다.

 

표준화 추가설명 

'평균으로부터 몇 개의 표준편차만큼 떨어져 있는가’라는 개념은 정규분포에서 구체적인 확률을 계산 하는 데 핵심적인 개념이다.

 m+kσ에서의 k값 즉, 표준편차가 몇 개인지가 중요하다.

매번 서로 다른 평균값과 표준편차를 감안하여 계산하지 않고 모든 분포들을 표준화시키면 계산이 간편해진다.

이러한 개념에서 정규화 과정은 평균이 0인 점에서 표준편차 단위로 몇 개나 떨어져 있는지를 알 수 있도록 한다.

즉 Z = 2 라면 평균에서 2표준편차만큼 떨어져 있는 값이라는 의미이다.

 

정규분포의 표준화 

정규분포 N(m,σ^2)을 따르는 확률변수 X에 대하여 X=m+kσ라 하자. X를 표준화하기 위해서는 k값을 알아야하기 때문에 다음과 같이 식을 이항하여 계산한다.  

X=m+kσ 

X-m=kσ 

(X-m)/σ＝k 

X가 확률변수이기 때문에 k=(X-m)/σ도 또 하나의 확률변수가 된다. 

만약 X=m일 때 k=(X-m)/σ＝(m-m)/σ＝0이 된다. 즉 확률변수 X일때의 평균 m이 확률변수 k일때의 평균 0이 된다는 의미이다. 

또한 확률변수 k가 따르는 정규분포의 표준편차를 t라 가정했을 때 임의의 k는 평균 0으로부터 표준편차가 k개만큼 떨어져있으므로 k=0+tk가 된다. 계산하면 t=1이므로 확률변수 k일때의 표준편차는 1이 된다.

 

그러므로 확률변수 k는 평균이 0, 표준편차가 1인 정규분포 N(0,1^2)를 따른다. 일반적으로 정규분포의 표준화에는 알파벳 Z를 써서 Z=(X-m)/σ라 한다.

 

표준화된 변수(standardized random variable)

로 표현한다.

 

표준화는 정규분포를 따르는 각각의 표본집단의 평균과 표준편차가 다를 때 

집단 간의 상대적인 비교를 할 수 있게 한다.

표준화 적용시 주의해야 할 점

1. 집단의 크기가 적어도 20이상이어야 한다.

2. 각 집단은 동질적이어야 한다.

3. 집단 간의 상대적인 비교를 할 수 있다.

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참조: K-MOOC R을 활용한 통계학 개론 김충락교수님 자료

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