통계학 : 왜도, 첨도

왜도(skewness)

그래프가 왼쪽이나 오른쪽으로 치우친 정도.

확률분포의 비대칭성을 나타내는 지표

이를 보다 단순화한 것이 Karl Pearson의 왜도계수(skewness coefficients)이다. 즉,

      

3 * (평균 - 최빈값) / 표준편차

3 * (평균 - 중앙값) / 표준편차

 

오른쪽부분에 긴 꼬리 (왼쪽으로 치우침) - 양의 왜도 (평균 > 중간값  > 최빈값)

왼쪽부분에 긴 꼬리 (오른쪽으로 치우침) - 음의 왜도 (평균 < 중간값 < 최빈값)

평균과 중앙값이 같으면(대칭이므로) 왜도는 0이다 (평균 = 중간값 = 최빈값)

위 그래프에서 양의 왜도를 가지고 있는 그래프를 보면, 얼추 보기에 평균보다 낮은 값의 발생 가능성이 높아보인다. 

하지만 이 그래프의 평균은 모두 일치한다. 

즉, 다시 해석하자면, 50%의 확률로 평균보다 약간 아래의 수익률을 얻게되고, 50%의 확률로 평균보다 꽤 높은 수익률을 얻을 수 있다.

왜냐하면 (50% 아래에 해당하는 분포의 평균 - 전체 평균) <= (50% 위에 해당하는 분포의 평균 - 전체평균)이기 때문이다.

일반적으로 금융시장은 음의 왜도를 가지고 있기 때문에 반대의 결과를 낳는다.

다시 확률로 해석해보면 금융시장에서 자산가격이 음의 왜도가 발생한다는 것은 자산의 가격이 같은 가격 만큼 오를 확률보다 같은 가격 만큼 내릴 확률이 높다는 의미이다.

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첨도(kurtosis)

첨도는 확률분포의 꼬리분포가 어느 정도 두꺼운지를 나타내는 값으로 주로 그리스 문자 K 로 나타낸다.

첨도값이 3을 기준으로 보다 작으면 정규분포보다 납작하고, 보다 크면 정규분포 보다 뾰족하다.(계산식에서 3을 빼서 초과첨도로 표시하면 0을 기준으로 한다.)

 

초과첨도 (excess kurtosis)

첨도에서 3을 뺀 값으로 정의한다. 

 

1. 중첨(mesokurtic, 정규분포 모양)

2. 고첨(leptokurtic, 정규분포보다 더 뾰족한 모양)

3. 저첨(platykurtic, 정규분포보다 더 완만한 모양)

첨도는 4차 중심적률을 이용하여 정의하며 정규분포의 첨도는 3이다.

첨도가 3보다 작으면 꼬리 분포가 얇고 이상치가 별로 없다.

첨도가 3보다 크면 꼬리 분포가 두꺼우며 이상치가 있을 가능성이 크다.

첨도의 해석

첨도가 높다는 것은 극단 값이 극히 일부이고, 대부분이 좁은 범위에 비슷한 수준을 가지고 있기 때문에 매우 동질적인 집단으로 볼 수 있다.

 

만약 700명 학생의 수학 학력고사 점수가 고첨분포를 보인다면, 이는 거의 모든 학생의 수학지식과 기능수준이 같거나 매우 유사하다는 것을 의미한다. 즉, 매우 부족한 65점 이하의 점수를 획득한 학생과 매우 우수한 95점 이상의 극단의 점수를 획득한 학생이 극히 일부에 지나지 않고, 대부분의 점수는 76~85점을 범위로 평균에 집중적으로 몰려 있으며, 수학지식과 기능에서 매우 동질적인 집단임을 의미하는 것이다.

 

첨도가 낮다는 것은 극단 값을 포함해서 넓은 범위에 골고루 퍼져있다는 의미이다. 이는 매우 이질적인 집단으로 볼 수 있다.

 

또한 만약 700명 학생의 수학 학력고사 점수가 저첨분포를 보인다면, 학생들의 수학지식과 기능수준이 모든 점수대에 걸쳐 나타나고 있다는 의미다. 즉, 매우 부족한 65점 이하부터 매우 우수한 95점 이상까지 각 점수대 빈도가 비슷하게 분포되어 있고, 수학지식과 기능에서 매우 이질적인 집단임을 의미하는 것이다.

 

 

참조: K-MOOC R을 활용한 통계학 개론 김충락교수님 자료

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